pesona sabalikna
Aya loba omongan ngeunaan "charm of opposites", teu ukur dina matematika. Inget yen angka sabalikna anu maranéhanana anu béda ngan dina tanda: tambah 7 jeung dikurangan 7. Jumlah angka sabalikna nyaeta nol. Tapi pikeun urang (nyaéta ahli matematika) timbal balikna langkung narik. Lamun hasil tina angka sarua jeung 1, mangka angka ieu tibalik ka unggal lianna. Unggal angka boga sabalikna, unggal angka non-enol boga sabalikna. Silih balilihan nyaéta si cikal.
Inversi lumangsung dimana wae dua kuantitas aya hubunganana ku kituna lamun hiji naek, nu sejen nurun dina laju pakait. "Relevan" hartosna yén produk tina kuantitas ieu henteu robih. Urang émut ti sakola: ieu mangrupikeun proporsi anu tibalik. Upami abdi hoyong dugi ka tujuan abdi dua kali gancang (nyaéta motong waktos dina satengah), abdi kedah ganda speed abdi. Lamun volume wadah disegel kalawan gas diréduksi ku n kali, tekanan na bakal ngaronjat ku n kali.
Dina atikan dasar, urang taliti ngabedakeun antara diferensial jeung babandingan relatif. "Sabaraha deui"? - "Sabaraha kali deui?"
Ieu sababaraha kagiatan sakola:
Tugas 1. Tina dua nilai positip, anu kahiji 5 kali langkung ageung tibatan anu kadua sareng dina waktos anu sami 5 kali langkung ageung tibatan anu kahiji. Naon diménsi?
Tugas 2. Lamun hiji angka 3 leuwih gede ti nu kadua, jeung nu kadua 2 leuwih gede ti nu katilu, sabaraha gede nu nomer kahiji ti nu katilu? Lamun jumlah positif kahiji dua kali kadua, jeung nomer kahiji tilu kali katilu, sabaraha kali angka kahiji leuwih gede ti katilu?
Tugas 3. Dina tugas 2, ngan ukur nomer alami anu diidinan. Naha susunan sapertos anu dijelaskeun aya mungkin?
Tugas 4. Tina dua nilai positip, anu kahiji nyaéta 5 kali kadua, sareng anu kadua nyaéta 5 kali anu kahiji. Éta mungkin waé?
Konsep "rata-rata" atawa "rata-rata" sigana basajan pisan. Lamun kuring ngabunder 55 km dina Senén, 45 km dina Salasa, sareng 80 km dina dinten Rebo, rata-rata kuring ngurilingan 60 km sadinten. Urang wholeheartedly satuju jeung itungan ieu, sanajan maranehna rada aneh sabab kuring teu ngajalankeun 60 km dina hiji poé. Kami sagampil gampang nampi saham hiji jalma: upami dua ratus urang nganjang ka réstoran dina genep dinten, maka rata-rata laju harian nyaéta 33 sareng jalma katilu. HM!
Aya masalah ngan ukur ukuran rata-rata. Abdi resep sapédah. Janten kuring ngamangpaatkeun tawaran agénsi perjalanan "Hayu sareng kami" - aranjeunna nganteurkeun koper ka hotél, dimana klien naék sapédah pikeun tujuan rekreasi. Dina Jumaah I drove pikeun opat jam: kahiji dua dina laju 24 km per jam. Saterusna kuring meunang jadi capé yén pikeun dua salajengna dina laju ngan 16 per jam. Naon laju rata-rata kuring? Tangtu (24+16)/2=20km=20km/jam.
Saptu, kumaha oge, koper ditinggalkeun di hotél, sarta kuring indit ka ningali ruruntuhan benteng, nu 24 km jauh, sarta sanggeus ningali aranjeunna, kuring balik. Kuring drove sajam dina hiji arah, balik deui lalaunan, dina laju 16 km per jam. Naon laju rata-rata kuring dina jalur hotél-puri-hotél? 20 km/jam? Nya kantenan henteu. Barina ogé, kuring drove total 48 km jeung waktu nu diperlukeun kuring sajam ("aya") sarta sajam satengah deui. 48 km dina dua satengah jam, i.e. jam 48/2,5 = 192/10 = 19,2 km! Dina kaayaan ieu, laju rata-rata sanes mean arithmetic, tapi harmonik tina nilai-nilai anu dipasihkeun:
sarta rumus dua-carita ieu bisa dibaca kieu: mean harmonik tina wilangan positif nyaéta bulak balik tina mean arithmetic tina reciprocal maranéhanana. The bulak balik tina jumlah inverses némbongan dina loba choruses of assignments sakola: lamun hiji worker digs jam, nu séjén - b jam, lajeng, gawé bareng, aranjeunna ngali on waktos. kolam renang cai (hiji per jam, nu séjén dina b jam). Lamun hiji résistor boga R1 jeung lianna mibanda R2, maranéhna mibanda résistansi paralel.
Lamun hiji komputer bisa ngajawab masalah dina detik, komputer sejen dina b detik, lajeng nalika aranjeunna gawé bareng ...
Eureun! Ieu dimana analogi ends, sabab sagalana gumantung kana speed jaringan: efisiensi tina sambungan. Pagawé ogé bisa ngahalangan atawa mantuan silih. Lamun hiji lalaki bisa ngagali sumur dina dalapan jam, bisa dalapan puluh pagawe ngalakukeun hal eta dina 1/10 jam (atawa 6 menit)? Lamun genep portir nyandak piano ka lantai kahiji dina 6 menit, sabaraha lila eta bakal butuh salah sahijina pikeun nganteurkeun piano ka lanté sixtieth? The absurdity tina masalah sapertos brings ka pikiran applicability kawates sadaya matematik kana masalah "ti hirup".
Ngeunaan seller kuat
Timbangan geus teu dipaké deui. Inget yen hiji beurat disimpen dina hiji mangkok timbangan misalna, sarta barang keur ditimbang disimpen dina sejenna, sarta lamun beurat éta dina kasaimbangan, mangka barang ditimbang saloba beurat. Tangtosna, duanana panangan beban beurat kedah panjangna sami, upami henteu timbangan bakal lepat.
Oh leres. Bayangkeun hiji salesperson anu ngabogaan beurat kalawan ngungkit unequal. Nanging, anjeunna hoyong jujur ka para nasabah sareng beuratna barang dina dua angkatan. Kahiji, anjeunna nempatkeun beurat dina hiji pan, sarta dina sejenna jumlah saluyu barang - ambéh timbangan aya dina kasaimbangan. Lajeng anjeunna weighs kadua "satengah" barang dina urutan sabalikna, nyaeta, anjeunna nempatkeun beurat dina mangkok kadua, sarta barang dina kahiji. Kusabab leungeun henteu sarua, "satengah" henteu pernah sarua. Jeung nurani seller urang jelas, sarta pembeli muji kajujuran-Na: "Naon kuring dipiceun dieu, abdi lajeng ditambahkeun."
Nanging, hayu urang ningal langkung caket kana paripolah anu ngajual anu hoyong jujur sanaos beuratna genting. Anggap leungeun kasaimbangan boga panjang a jeung b. Lamun salah sahiji mangkok dieusian ku beurat kilogram sarta séjén kalawan x barang, mangka timbangan aya dina kasatimbangan lamun ax = b kahiji kalina jeung bx = a kadua kalina. Jadi, bagian kahiji barang sarua jeung b/a kilogram, bagian kadua a/b. beurat alus ngabogaan = b, jadi nu meuli bakal nampa 2 kg barang. Hayu urang tingali naon anu lumangsung nalika a ≠ b. Lajeng a - b ≠ 0 jeung tina rumus multiplication ngurangan kami boga
Kami dugi ka hasil anu teu kaduga: metode anu katingalina adil tina "rata-rata" pangukuran dina hal ieu tiasa dianggo pikeun kapentingan anu mésér, anu nampi langkung seueur barang.
Tugas 5. (Kadé, teu hartosna dina matematika!). Reungit beuratna 2,5 miligram, sareng gajah lima ton (ieu data anu leres). Itung rata-rata aritmatika, rata-rata géométri, jeung rata-rata harmonik massa reungit jeung gajah (beurat). Pariksa itungan sareng tingali naha éta aya akal salian ti latihan aritmetika. Hayu urang nempo conto sejenna tina itungan matematik nu teu asup akal dina "kahirupan nyata". Tip: Kami parantos ningali hiji conto dina tulisan ieu. Naha ieu hartosna murid anu henteu namina anu pendapat anu kuring mendakan dina Internét leres: "Matématika ngabobodo jalma anu nganggo nomer"?
Leres, kuring satuju yén dina kaagungan matematika, anjeun tiasa "ngabobodo" jalma - unggal iklan sampo kadua nyarios yén éta ningkatkeun fluffiness ku sababaraha persén. Naha urang milarian conto-conto alat sapopoé anu sanés anu tiasa dianggo pikeun kagiatan kriminal?
Gram!
Judul petikan ieu mangrupa kecap pagawéan (jalma kahiji jamak) lain kecap barang (nominatif jamak tina sapersarébu kilogram). Harmoni nunjukkeun urutan jeung musik. Pikeun urang Yunani kuno, musik mangrupikeun cabang élmu - kedah diaku yén upami urang nyarios kitu, urang mindahkeun harti kecap "élmu" ayeuna ka jaman sateuacan jaman urang. Pythagoras cicing dina abad ka-XNUMX SM. Henteu ngan ukur anjeunna henteu terang komputer, telepon sélulér sareng email, tapi anjeunna ogé henteu terang saha Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne sareng Cicero. Anjeunna henteu terang angka Arab atanapi malah Romawi (aranjeunna dianggo sakitar abad ka-XNUMX SM), anjeunna henteu terang naon Perang Punic ... Tapi anjeunna terang musik ...
Anjeunna terang yén dina instrumen senar, koefisien geter berbanding terbalik sareng panjang bagian senar anu ngageter. Anjeunna terang, anjeunna terang, anjeunna ngan ukur tiasa nganyatakeun cara urang ngalakukeun ayeuna.
Frékuénsi dua getaran senar anu ngawangun hiji oktaf aya dina babandingan 1:2, nyaéta, frékuénsi catetan anu langkung luhur dua kali frékuénsi anu handap. Babandingan geter anu bener pikeun kalima nyaéta 2: 3, kaopat nyaéta 3: 4, katilu utama murni nyaéta 4:5, katilu minor nyaéta 5:6. Ieu mangrupikeun interval konsonan anu pikaresepeun. Teras aya dua anu nétral, kalayan babandingan geter 6:7 sareng 7:8, teras dissonant - nada ageung (8:9), nada alit (9:10). Fraksi ieu (babandingan) kawas babandingan anggota saterusna runtuyan nu ahli matematika (ku sabab ieu pisan) nelepon runtuyan harmonik:
mangrupa jumlah téoritis taya wates. Babandingan osilasi oktaf bisa ditulis salaku 2:4 sarta nempatkeun hiji kalima antara aranjeunna: 2:3:4, nyaeta, urang ngabagi oktaf kana kalima jeung kaopat. Ieu disebut division bagéan harmonik dina matematika:
Sangu. 1. Pikeun musisi: ngabagi oktaf AB kana AC kalima.Pikeun Matematikawan: Segmentasi harmonik
Naon anu kuring hartosna nalika kuring nyarios (di luhur) ngeunaan jumlah téoritis anu henteu terbatas, sapertos séri harmonik? Tétéla yén jumlah sapertos tiasa jumlahna ageung, hal utama anu urang tambahkeun pikeun lila. Aya beuki saeutik bahan, tapi aya beuki loba. Naon prevails? Di dieu urang asup kana realm analisis matematik. Tétéla yén bahan anu depleted, tapi teu pisan gancang. Kuring bakal nunjukkeun yén ku nyandak bahan anu cukup, kuring tiasa nyimpulkeun:
wenang badag. Hayu urang nyokot "contona" n = 1024. Hayu urang grup kecap sakumaha ditémbongkeun dina gambar:
Dina unggal kurung, unggal kecap leuwih gede ti saméméhna, iwal, tangtosna, panungtungan, nu sarua jeung sorangan. Dina kurung handap, urang boga 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 jeung 512 komponén; nilai jumlah dina unggal kurung leuwih gede ti ½. Sadaya ieu langkung ti 5½. Itungan anu langkung akurat bakal nunjukkeun yén jumlah ieu kirang langkung 7,50918. Teu pira, tapi salawasna, tur anjeun tiasa ningali éta ku nyokot n sagala badag, Abdi tiasa outperform angka wae. Ieu incredibly slow (contona, urang luhureun sapuluh kalayan bahan nyalira), tapi pertumbuhan tanpa wates geus salawasna fascinated matematikawan.
Lalampahan ka takterhingga kalayan séri harmonik
Ieu teka-teki pikeun sababaraha matematika anu serius. Simkuring boga suplai taya blok rectangular (naon bisa kuring ngomong, rectangular!) Jeung dimensi, sebutkeun, 4 × 2 × 1. Mertimbangkeun sistem diwangun ku sababaraha (dina buah Ara. 2 - opat) blok, disusun ku kituna anu kahiji condong ku ½ panjangna, anu kadua ti luhur ku ¼ sareng saterasna, anu katilu ku hiji kagenep. Muhun, meureun sangkan eta bener stabil, hayu urang Dengdekkeun bata kahiji saeutik saeutik. Henteu masalah pikeun itungan.
Sangu. 2. Nangtukeun puseur gravitasi
Éta ogé gampang kahartos yén kumargi tokoh anu diwangun ku dua blok kahiji (cacah ti luhur) ngagaduhan pusat simétri dina titik B, teras B mangrupikeun pusat gravitasi. Hayu urang nangtukeun geometrically puseur gravitasi sistem, diwangun ku tilu blok luhur. Argumen anu saderhana cekap di dieu. Hayu urang mental ngabagi komposisi tilu blok kana dua luhur jeung katilu handap. Puseur ieu kedah aya dina bagian anu nyambungkeun pusat gravitasi dua bagian. Dina naon titik dina episode ieu?
Aya dua cara pikeun nunjuk. Dina kahiji, urang bakal ngagunakeun observasi yén puseur ieu kudu tempatna di tengah piramida tilu-blok, nyaéta, dina garis lempeng intersecting kadua, blok tengah. Dina cara kadua, urang ngarti yén saprak dua blok luhur boga massa total dua kali leuwih ti hiji blok tunggal #3 (luhureun), puseur gravitasi dina bagian ieu kudu dua kali leuwih deukeut ka B ti puseur. S tina blok katilu. Nya kitu, urang manggihan titik salajengna: urang sambungkeun puseur kapanggih tina tilu blok jeung puseur S tina blok kaopat. Puseur sakabéh sistem aya dina jangkungna 2 sarta dina titik nu ngabagi ruas ku 1 nepi ka 3 (nyaéta, ku ¾ panjangna).
Itungan anu bakal urang laksanakeun sakedik nuju kana hasil anu dipidangkeun dina Gbr. Gbr. 3. Puseur gravitasi padeukeut dipiceun ti ujung katuhu blok handap ku:
Ku kituna, proyéksi puseur gravitasi piramida salawasna dina dasarna. Munara moal topple over. Ayeuna hayu urang tingali buah Ara. 3 sareng sakedap, hayu urang nganggo blok kalima ti luhur salaku dasarna (anu ditandaan ku warna anu langkung terang). Condong luhur:
sahingga, ujung kénca na 1 salajengna ti ujung katuhu dasarna. Ieu ayunan salajengna:
Naon ayun pangbadagna? Urang geus nyaho! Teu aya anu pangageungna! Nyandak blok-blok pangleutikna, anjeun tiasa nampi overhang tina hiji kilométer - hanjakalna, ngan ukur sacara matematis: sakumna Bumi moal cekap pikeun ngawangun seueur blok!
Sangu. 3. Tambahkeun deui blok
Ayeuna itungan anu urang tinggalkeun di luhur. Urang bakal ngitung sakabéh jarak "horizontal" dina sumbu-x, sabab éta kabéh aya kana eta. Titik A (puseur gravitasi blok kahiji) nyaéta 1/2 ti sisi katuhu. Titik B (puseur sistem dua blok) nyaéta 1/4 jauh ti ujung katuhu blok kadua. Hayu titik awal jadi tungtung blok kadua (ayeuna urang ngaléngkah ka katilu). Salaku conto, dimana pusat gravitasi blok tunggal #3? Satengah panjang blok ieu, kituna, éta 1/2 + 1/4 = 3/4 ti titik rujukan urang. Dimana titik C? Dina dua per tilu bagéan antara 3/4 jeung 1/4, nyaéta dina titik saméméhna, urang ngarobah titik rujukan ka ujung katuhu blok katilu. Puseur gravitasi sistem tilu-blok ayeuna dipiceun tina titik rujukan anyar, jeung saterusna. Puseur gravitasi Cn munara diwangun ku n blok nyaeta 1/2n jauh ti titik rujukan sakedapan, nu ujung katuhu blok dasar, nyaéta blok nth ti luhur.
Kusabab runtuyan reciprocals diverges, urang bisa meunang sagala variasi badag. Naha ieu tiasa dilaksanakeun? Ieu kawas munara bata sajajalan - sooner atanapi engké bakal ambruk handapeun beurat sorangan. Dina skéma urang, katepatan minimal dina panempatan blok (sareng paningkatan laun dina jumlah parsial séri) hartosna urang moal jauh pisan.
