jalur geometri sarta thickets

Nalika nyerat tulisan ieu, kuring émut kana lagu anu lami pisan ku Jan Pietrzak, anu anjeunna nyanyi sateuacan kagiatan satirical na dina kabaret Pod Egidą, anu diakui di Républik Rahayat Polandia salaku klep kaamanan; hiji bisa jujur ​​seuri dina paradoxes sistem. Dina lagu ieu, pangarang nyarankeun partisipasi pulitik sosialis, ridiculing jalma anu hayang jadi apolitis jeung mareuman radio dina koran. "Éta langkung saé uih deui ka sakola maca," Petshak anu yuswa XNUMX taun harita nyanyi ironis.

Abdi badé uih deui ka sakola maca. Kuring keur ulang maca (sanés pikeun kahiji kalina) buku ku Shchepan Yelensky (1881-1949) "Lylavati". Pikeun sababaraha pamiarsa, kecap sorangan nyebutkeun hal. Ieu nami putri matematikawan Hindu kawentar katelah Bhaskara (1114-1185), ngaranna Akaria, atawa sage anu judulna bukuna ngeunaan aljabar kalawan ngaran éta. Lilavati engké janten ahli matematika sareng filsuf anu kasohor. Numutkeun sumber anu sanés, anjeunna anu nyerat bukuna nyalira.

Szczepan Yelensky masihan judul anu sami pikeun bukuna ngeunaan matematika (édisi kahiji, 1926). Malah meureun hésé pikeun nelepon buku ieu karya matematik - éta leuwih ti sakumpulan puzzles, sarta lolobana ditulis ulang tina sumber Perancis (hak cipta dina rasa modern teu aya). Dina sagala hal, salila sababaraha taun éta hijina buku Polandia populér dina matematika - engké ditambahkeun kana buku kadua Jelensky urang, Manisan Pythagoras urang. Janten para nonoman anu resep kana matematika (anu leres-leres kuring baheula) teu aya anu tiasa dipilih ...

di sisi séjén, "Lilavati" kungsi dipikawanoh ampir ku haté ... Ah, aya waktos ... Kauntungannana pangbadagna maranéhanana éta kuring ... rumaja harita. Kiwari, tina sudut pandang matematikawan anu berpendidikan, kuring ningali Lilavati dina cara anu béda - sigana sapertos pendaki dina tikungan jalan ka Shpiglasova Pshelench. Boh salah sahiji atawa lianna leungit pesona na ... Dina gaya ciri na, Shchepan Yelensky, anu professes nu disebut gagasan nasional dina kahirupan pribadi-Na, manéhna nulis dina kecap muka:

Tanpa noel kana pedaran ciri nasional, kuring bakal nyebutkeun yén sanajan sanggeus salapan puluh taun, kecap Yelensky ngeunaan matematik teu leungit relevansi maranéhanana. Matematika ngajarkeun anjeun mikir. Éta kanyataan. Naha urang tiasa ngajarkeun anjeun mikir béda, langkung sederhana sareng langkung saé? Tiasa waé. Ngan... urang tetep teu bisa. Kuring ngajelaskeun ka murid-murid kuring anu henteu hoyong matematika yén ieu ogé mangrupikeun tés intelegensi. Upami anjeun henteu tiasa diajar téori matématika anu saderhana, teras ... panginten kamampuan méntal anjeun langkung goréng tibatan anu dipikahoyong ku urang duaan ...?

Tanda di pasir

Sarta di dieu nyaeta carita munggaran dina "Lylavati" - carita digambarkeun ku filsuf Perancis Joseph de Maistre (1753-1821).

Hiji pelaut ti kapal wrecked ieu dialungkeun ku ombak kana hiji basisir kosong, nu anjeunna dianggap teu dicicingan. Ujug-ujug, di pasir basisir, manéhna nempo renik hiji inohong geometri digambar hareupeun batur. Ieu lajeng anjeunna sadar yén pulo teu deserted!

Ngutip de Mestri, Yelensky nyerat: inohong géométrieta bakal geus ekspresi bisu keur musibah, shipwrecked, kabeneran, tapi anjeunna némbongkeun anjeunna dina proporsi glance jeung nomer, sarta ieu heralded hiji lalaki enlightened. Jadi loba sajarah.

Catet yén pelaut bakal nyababkeun réaksi anu sami, contona, ku ngagambar hurup K, ... sareng jejak anu sanés ayana jalma. Di dieu géométri ieu idealized.

Tapi, astronom Camille Flammarion (1847-1925) ngusulkeun yén peradaban silih salam ti kajauhan ngagunakeun géométri. Anjeunna ningali dina ieu hiji-hijina usaha anu leres sareng mungkin dina komunikasi. Hayu urang nunjukkeun Mars sapertos segitiga Pythagorean ... aranjeunna bakal ngajawab kami kalayan Thales, urang bakal ngajawab aranjeunna kalayan pola Vieta, bunderan maranéhanana bakal cocog kana segitiga, jadi silaturahim dimimitian ...

Panulis sapertos Jules Verne sareng Stanislav Lem balik kana ide ieu. Sareng dina taun 1972, ubin sareng pola géométri (sareng sanés ngan ukur) dipasang dina panyilidikan Pelopor, anu masih nyebrang ruang angkasa, ayeuna ampir 140 unit astronomis ti kami (1 I nyaéta jarak rata-rata Bumi ti Bumi). . Panonpoé, nyaéta, kira-kira 149 juta km). Kotak éta dirarancang, sabagian, ku astronom Frank Drake, panyipta aturan kontroversial ngeunaan jumlah peradaban extraterrestrial.

Géométri luar biasa. Urang sadayana terang sudut pandang umum ngeunaan asal-usul élmu ieu. Urang (urang manusa) nembé mimiti ngukur lahan (sareng engké lahan) pikeun tujuan anu paling mangpaat. Nangtukeun jarak, ngagambar garis lempeng, nyirian sudut katuhu sareng ngitung volume laun-laun janten kabutuhan. Ku kituna sakabeh hal géométri ("Ukur bumi"), ku kituna sadaya matematika ...

Sanajan kitu, pikeun sawatara waktu gambaran jelas ieu sajarah elmu clouded kami. Pikeun lamun matematika anu diperlukeun solely pikeun kaperluan operasional, urang moal kalibet dina ngabuktikeun teorema basajan. "Anjeun ningali yén ieu kedah leres pisan," saurang bakal nyarios saatos mariksa yén dina sababaraha segitiga katuhu jumlah kuadrat hipotenus sami sareng kuadrat hipotenus. Naha formalisme kitu?

Plum pai kedah nikmat, program komputer kedah dianggo, mesin kedah jalan. Upami kuring ngitung kapasitas tong tilu puluh kali sareng sadayana beres, naha sanés?

Samentara éta, éta lumangsung nepi ka Yunani kuna yén sababaraha bukti formal diperlukeun pikeun kapanggih.

Jadi, matematika dimimitian ku Thales (625-547 SM). Hal ieu dianggap yén éta Miletus anu mimiti heran naha. Teu cukup pikeun jalma pinter yén maranéhna geus katempo hiji hal, yén maranéhna yakin kana hal. Aranjeunna ningali peryogi bukti, runtuyan logis argumen ti asumsi kana tesis.

Éta ogé hayang leuwih. Ieu meureun Thales anu mimiti nyoba ngajelaskeun fenomena fisik dina cara naturalistic, tanpa campur ketuhanan. Filsafat Éropa dimimitian ku filsafat alam - jeung naon geus balik fisika (ku kituna ngaranna: metafisika). Tapi pondasi ontologi Éropa jeung filsafat alam anu diteundeun ku Pythagoreans (Pythagoras, c. 580-c. 500 SM).

Anjeunna ngadegkeun sakola sorangan di Crotone di kiduleun jazirah Apennine - kiwari urang bakal nelepon hiji sekte. Élmu (dina harti kecap ayeuna), mistik, agama jeung implengan sadayana raket patalina. Thomas Mann pisan beautifully dibere palajaran matematika di gimnasium Jerman dina novél Doctor Faustus. Ditarjamahkeun ku Maria Kuretskaya sareng Witold Virpsha, sempalan ieu berbunyi:

Dina buku menarik Charles van Doren, The History of Knowledge from the Dawn of History to present Day, kuring mendakan sudut pandang anu pikaresepeun pisan. Dina salah sahiji bab, panulis ngajelaskeun significance tina sakola Pythagorean. Pisan judul bab struck kuring. Ieu berbunyi: "The Invention of Mathematics: The Pythagoreans".

Urang mindeng ngabahas naha téori matematik keur kapanggih (misalna lahan kanyahoan) atawa invented (misalna mesin nu teu aya saméméhna). Sababaraha matematikawan kreatif ningali dirina salaku panalungtik, batur salaku inventors atanapi désainer, kirang sering counters.

Tapi panulis buku ieu nyerat ngeunaan penemuan matematika sacara umum.

Ti kaleuleuwihi ka delusion

Saatos bagian bubuka anu panjang ieu, kuring bakal ngaléngkah ka awal. géométripikeun ngajelaskeun kumaha hiji over-reliance on géométri bisa mislead élmuwan a. Johannes Kepler dipikawanoh dina fisika jeung astronomi salaku nu manggihan tilu hukum gerak benda langit. Kahiji, unggal planét dina sistim tatasurya ngalir ngurilingan panonpoé dina orbit elliptical, salah sahiji fokus di antarana panonpoé. Bréh, dina interval nu biasa sinar ngarah planét, dicokot ti Panonpoé, draws widang sarua. Katilu, babandingan kuadrat période révolusi planét ngurilingan Panonpoé jeung kubus sumbu semi-mayor orbitna (nyaéta, jarak rata-rata ti Panonpoé) konstan pikeun sakabéh planét dina sistim tatasurya.

Panginten ieu mangrupikeun hukum katilu - peryogi seueur data sareng itungan pikeun netepkeunana, anu nyababkeun Kepler neraskeun milarian pola dina gerakan sareng posisi planét. Sajarah "penemuan" anyar na pisan instructive. Saprak jaman baheula, urang geus admired teu ukur polyhedra biasa, tapi ogé alesan némbongkeun yén aya ngan lima di antarana dina spasi. Polihedron tilu diménsi disebut reguler lamun beungeutna téh poligon reguler idéntik jeung unggal vertex boga jumlah sisi anu sarua. Illustratively, unggal sudut hiji polyhedron biasa kedah "kasampak sarua". The polyhedron kawentar nyaeta kubus. Sarerea geus katempo ankle biasa.

Tetrahedron biasa kirang dikenal, sareng di sakola disebut piramida segitiga biasa. Sigana piramida. Sésana tilu polyhedra biasa kirang dipikawanoh. Hiji octahedron kabentuk nalika urang nyambungkeun puseur edges hiji kubus. The dodecahedron na icosahedron geus kasampak kawas bal. Dijieunna tina kulit lemes, aranjeunna bakal nyaman pikeun ngagali. Argumen yén euweuh polyhedra biasa lian ti lima padet Platonic pohara alus. Kahiji, urang nyadar yén lamun awak téh biasa, mangka jumlah sarua (hayu q) tina polygons biasa idéntik kudu konvergen di unggal vertex, hayu ieu jadi p-sudut. Ayeuna urang kudu apal naon sudut dina polygon biasa. Upami aya anu henteu émut ti sakola, kami ngingetkeun anjeun kumaha milarian pola anu leres. Urang nyandak lalampahan sabudeureun sudut. Dina unggal vertex urang balik ngaliwatan sudut anu sarua a. Nalika urang balik sabudeureun polygon jeung balik ka titik awal, kami geus dijieun p robah warna ka warna sapertos, sarta dina total kami geus ngancik 360 derajat.

Tapi α nyaéta 180 derajat 'pelengkap tina sudut urang rék ngitung, sarta ku kituna

Kami mendakan rumus sudut (matematikawan bakal nyarios: ukuran sudut) poligon biasa. Pariksa: dina segitiga p = 3, euweuh a

Resep ieu. Lamun p = 4 (kuadrat), mangka

gelar oge hade.

Naon anu urang kéngingkeun pikeun pentagon? Janten naon anu lumangsung nalika aya q polygons, unggal p gaduh sudut anu sami

 derajat turun dina hiji vertex? Lamun éta dina pesawat, mangka hiji sudut bakal kabentuk

derajat sarta teu bisa leuwih ti 360 derajat - sabab lajeng polygons tumpang tindih.

Sanajan kitu, saprak polygons ieu papanggih di spasi, sudut kudu kirang ti sudut pinuh.

Sareng ieu mangrupikeun kateusaruaan dimana éta sadayana kieu:

Bagikeun ku 180, kalikeun duanana bagian ku p, urutan (p-2) (q-2) < 4. Naon kieu? Hayu urang jadi sadar yen p jeung q kudu wilangan alam jeung nu p > 2 (naha? Jeung naon p?) Sarta ogé q > 2. Aya teu loba cara nyieun hasil dua wilangan alam kirang ti 4. Urang bakal daptar sadayana dina tabel 1.

Kuring henteu masangkeun gambar, sadayana tiasa ningali inohong ieu dina Internét… Dina Internét… Kuring moal nampik digression liris - sigana bakal pikaresepeun pikeun pamiarsa ngora. Taun 1970 kuring nyarita dina hiji seminar. Topik éta hésé. Kuring kungsi saeutik waktu nyiapkeun, Kuring diuk di soré. Artikel utama ngan ukur dibaca di tempat. tempat éta cozy, kalawan atmosfir gawé, sumur, ditutup dina jam tujuh. Lajeng panganten awewe (ayeuna pamajikan kuring) sorangan ditawarkeun nulis balik sakabéh artikel pikeun kuring: ngeunaan belasan kaca dicitak. Kuring nyalin eta (henteu, teu ku pulpen quill, urang malah kungsi pulpen), ceramah éta suksés. Dinten ieu abdi nyobian pikeun manggihan ieu publikasi, nu geus heubeul. Abdi ngan ukur émut nami pangarangna ... Pilarian dina Internét parantos lami ... sapinuhna lima belas menit. Kuring mikir ngeunaan eta kalawan smirk sarta kaduhung saeutik unjustified.

Urang balik deui ka Keplera jeung géométri. Tétéla, Plato diprediksi ayana wujud biasa kalima sabab anjeunna lacks hal ngahiji, ngawengku sakabeh dunya. Panginten éta naha anjeunna maréntahkeun saurang murid (Theajtet) pikeun milarian anjeunna. Sapertos kitu, éta, dumasar kana dodecahedron kapanggih. Urang nyebut sikep ieu pantheisme Plato. Kabéh élmuwan, nepi ka Newton, succumbed ka extent gede atawa Lesser. Kusabab abad dalapan belas kacida rasional, pangaruhna geus drastis sabagean gede, sanajan urang teu kudu isin kanyataan yén urang sadayana tunduk kana eta dina hiji atawa cara séjén.

Dina konsép Kepler ngeunaan ngawangun sistem tatasurya, sagalana bener, data eksperimen coincided jeung teori, teori ieu logis koheren, geulis pisan ... tapi sagemblengna palsu. Dina waktosna, ngan genep planét anu dipikanyaho: Mérkurius, Vénus, Bumi, Mars, Jupiter sareng Saturnus. Naha ngan aya genep planét? Kepler nanya. Jeung aturan naon nangtukeun jarak maranéhanana ti Panonpoé? Anjeunna nganggap yén sagalana disambungkeun, éta géométri jeung kosmogoni raket patalina. Tina tulisan Yunani kuno, anjeunna terang yén ngan aya lima polyhedra biasa. Anjeunna ningali yén aya lima rongga antara genep orbit. Janten meureun unggal rohangan bébas ieu cocog sareng sababaraha polyhedron biasa?

Sanggeus sababaraha taun observasi jeung karya téoritis, manéhna nyieun téori di handap, kalayan bantuan nu manéhna ngitung cukup akurat dimensi orbit, nu manéhna dibere dina buku "Mysterium Cosmographicum", diterbitkeun dina 1596: Bayangkeun hiji lapisan raksasa. diaméterna nyaéta diaméter orbit Mérkurius dina gerak taunanna ngurilingan panonpoé. Teras bayangkeun yén dina lapisan ieu aya octahedron biasa, di dinya hiji bal, di dinya hiji icosahedron, di dinya deui hiji bal, di dinya a dodecahedron, dina eta bal sejen, dina eta hiji tetrahedron, lajeng deui hiji lapisan, kubus. jeung, tungtungna, dina kubus ieu bal digambarkeun.

Kepler menyimpulkan yén diaméter spheres saterusna nyaéta diaméter orbit planét séjén: Mérkurius, Vénus, Bumi, Mars, Jupiter, jeung Saturnus. Téori sigana akurat pisan. Hanjakal, ieu coincided jeung data eksperimen. Sarta naon bukti hadé ngeunaan correctness tina téori matematik ti susuratan na kalawan data eksperimen atawa data observasi, utamana "dicokot ti sawarga"? Kuring nyimpulkeun itungan ieu dina Table 2. Janten naon anu dilakukeun ku Kepler? Kuring diusahakeun tur diusahakeun nepika éta digawé kaluar, nyaeta, nalika konfigurasi (urutan spheres) jeung itungan diala coincided jeung data observasi. Ieu mangrupikeun inohong sareng itungan Kepler modern:

Hiji bisa succumb ka fascination téori jeung yakin yén ukuran di langit teu akurat, teu itungan dijieun dina tiiseun workshop. Hanjakalna, ayeuna urang terang yén sahenteuna aya salapan planét sareng yén sadaya kabeneran hasilna ngan kabeneran. Karunya. Éta geulis pisan ...