Janten ka saha, nyaéta: COBA DI MANA BISA - bagian 2

Dina episode saméméhna, urang diurus Sudoku, hiji kaulinan arithmetic nu angka nu dasarna disusun dina rupa diagram nurutkeun aturan nu tangtu. Varian paling umum nyaéta 9 × 9 chessboard, Sajaba dibagi kana salapan 3 × 3 sél. Angka ti 1 nepi ka 9 kudu disetél dina eta ambéh maranéhanana henteu ngulang boh dina baris nangtung (matematikawan nyebutkeun: dina kolom) atawa dina baris horizontal (matematikawan nyebutkeun: dina baris) - jeung, komo deui, supaya aranjeunna henteu ngulang. ulang dina sagala kuadrat leutik.

Na buah Ara. 1 urang tingali teka ieu dina versi basajan, nu mangrupakeun 6 × 6 kuadrat dibagi kana 2 × 3 rectangles 1. Urang selapkeun angka 2, 3, 4, 5, 6, XNUMX kana eta - ambéh maranéhanana henteu ngulang vertikal, atawa. horizontal, atawa dina unggal hexagons dipilih.

Hayu urang coba dipintonkeun dina kuadrat luhur. Dupi anjeun eusian eta kalawan nomer tina 1 ka 6 nurutkeun aturan diatur pikeun kaulinan ieu? Ieu mungkin - tapi ambigu. Hayu urang tingali - ngagambar pasagi di kénca atawa pasagi di katuhu.

Urang bisa disebutkeun yen ieu teu jadi dadasar pikeun teka. Urang biasana nganggap yen teka a boga hiji solusi. Tugas milarian dasar anu béda pikeun "badag" Sudoku, 9x9, mangrupikeun tugas anu sesah sareng teu aya kasempetan pikeun ngarengsekeunana.

sambungan penting séjénna nyaéta sistem kontradiktif. Kotak tengah handap (nu nomer 2 di pojok katuhu handap) teu tiasa réngsé. Naha?

Senang jeung Retreats

Urang maén dina. Hayu urang ngagunakeun intuisi barudak. Aranjeunna yakin yén hiburan mangrupa bubuka pikeun diajar. Hayu urang ka luar angkasa. dihurungkeun buah Ara. 2 dulur nilik grid nu tetrahedronti bal, contona, bal ping-pong? Ngelingan palajaran géométri sakola. Warna di sisi kénca gambar ngajelaskeun naon eta glued ka nalika assembling blok. Hususna, tilu bal sudut (beureum) bakal glued kana hiji. Ku alatan éta, maranéhanana kudu jumlah sarua. Meureun 9. Naha? Jeung naha henteu?

Oh kuring henteu nyarios éta tugas. Ieu hurung kawas kieu: éta mungkin mun inscribe angka ti 0 nepi ka 9 dina grid katempo ku kituna unggal raray ngandung sakabéh angka? Tugasna henteu sesah, tapi sabaraha anu anjeun kedah bayangkeun! Abdi moal ngarusak kasenangan pamiarsa sareng moal masihan solusi.

Ieu mangrupikeun bentuk anu saé pisan sareng diremehkeun. octahedron biasa, diwangun tina dua piramida (=piramida) kalayan dasar pasagi. Sakumaha ngaranna nunjukkeun, octahedron ngabogaan dalapan rupa.

Aya genep titik dina octahedron. Ieu contradicts kubusnu boga genep rupa jeung dalapan vertex. Edges duanana lumps sarua - dua belas unggal. Ieu padet ganda - Ieu ngandung harti yén ku cara ngahubungkeun puseur rupa kubus urang meunang hiji octahedron, sarta puseur rupa octahedron bakal masihan urang kubus. Duanana nabrak ieu ngalakukeun ("sabab kudu") Rumus Euler: Jumlah jumlah verteks jeung jumlah beungeut 2 leuwih ti jumlah edges.

3. A octahedron biasa dina proyéksi paralel jeung hiji kisi octahedron diwangun ku spheres dina cara nu unggal ujung boga opat spheres.

Tugas 1. Kahiji, tuliskeun kalimah panungtung paragraf saméméhna ngagunakeun rumus matematika. Dina buah Ara. 3 nu katingali hiji grid octahedral, ogé diwangun ku spheres. Unggal ujung boga opat bal. Unggal beungeut téh segitiga tina sapuluh spheres. Masalahna diatur sacara mandiri: naha anjeun tiasa nempatkeun nomer tina 0 dugi ka 9 dina bunderan grid supados saatos ngagantelkeun awak padet, unggal témbok ngandung sadaya nomer (éta kieu tanpa pengulangan). Sapertos sateuacanna, kasusah anu paling ageung dina tugas ieu nyaéta kumaha bolong dirobih janten awak padet. Abdi henteu tiasa ngajelaskeun sacara tulisan, janten kuring ogé henteu masihan solusi di dieu.

4. Dua icosahedrons ti bal ping-pong. Perhatikeun skéma warna anu béda.

enggeus Plato (sareng anjeunna cicing dina abad ka-XNUMX-XNUMX SM) terang sadayana polyhedra biasa: tetrahedron, kubus, octahedron, dodecahedron i icosahedron. Éta endah kumaha anjeunna dugi ka dinya - henteu aya pensil, henteu aya kertas, henteu aya pulpén, henteu aya buku, henteu aya smartphone, henteu aya internét! Kuring moal ngobrol ngeunaan dodecahedron di dieu. Tapi sudoku icosahedral metot. Urang tingali lump ieu dina ilustrasi 4jeung jaringan na Gbr. 5.

5. Biasa bolong tina icosahedron.

Sapertos sateuacanna, ieu sanés grid dina hartos dimana urang émut (?!) ti sakola, tapi cara ngalemkeun segitiga tina bal (bal).

Tugas 2. Sabaraha bal anu diperyogikeun pikeun ngawangun icosahedron sapertos kitu? Naha alesan di handap ieu tetep leres: kumargi unggal rai mangrupikeun segitiga, upami aya 20 rai, maka saloba 60 spheres diperyogikeun?

6. Grid of icosahedron ti spheres. Unggal bunderan, contona, bal ping-pong, tapi pangwangunan bunderan dina bunderan ditandaan ku warna anu sarua ngahiji jadi hiji. Jadi urang boga dua belas spheres (= dua belas vertex: beureum, biru, wungu, biru jeung dalapan konéng).

Gampang katingal yén tilu nomer dina icosahedron henteu cekap. Leuwih tepat: teu mungkin mun enumerate vertices kalawan angka 1, 2, 3 jadi unggal (triangular) beungeut boga tilu angka ieu sarta euweuh ulangan. Éta mungkin ku opat angka? Sumuhun éta mungkin! Hayu urang tingali Sangu. 6 jeung 7.

7. Di dieu nyaeta kumaha carana wilanganana spheres nu ngawangun icosahedron ambéh unggal raray ngandung angka lian ti 1, 2, 3, 4. Nu awak dina Gbr. 4 warna sapertos kieu?

Tugas 3. Tilu tina opat angka bisa dipilih dina opat cara: 123, 124, 134, 234. Manggihan lima triangles misalna dina icosahedron dina Gbr. 7 (sareng ti ilustrasi 4).

Tugas 4 (merlukeun imajinasi spasial pohara alus). Icosahedron ngagaduhan dua belas simpul, anu hartosna tiasa dihijikeun tina dua belas bal (buah Ara. 7). Catet yén aya tilu vertex (= bal) dilabélan ku 1, tilu jeung 2, jeung saterusna. Ku kituna, bal tina warna anu sarua ngabentuk segitiga. Naon segitiga ieu? Meureun equilateral? Tingali deui ilustrasi 4.

Tugas satuluyna pikeun akina/nini jeung incu/incu. Kolot tungtungna tiasa nyobian leungeunna ogé, tapi aranjeunna peryogi kasabaran sareng waktos.

Tugas 5. Mésér dua belas (preferably 24) bal ping-pong, sababaraha opat warna cet, sikat, jeung lem katuhu - Abdi teu nyarankeun leuwih gancang kawas Superglue atanapi Droplet sabab garing teuing gancang sarta bahaya pikeun barudak. Lem dina icosahedron. Pakéan incu awewe anjeun dina kaos oblong anu bakal dikumbah (atanapi dialungkeun) langsung saatosna. Nutupan méja kalayan foil (preferably kalawan koran). Taliti warna icosahedron kalawan opat kelir 1, 2, 3, 4, ditémbongkeun saperti dina Gbr. buah Ara. 7. Anjeun tiasa ngarobah urutan - mimiti warna balon lajeng lem aranjeunna. Dina waktu nu sarua, bunderan leutik kudu ditinggalkeun unpainted supados cet teu lengket kana cet.

Ayeuna tugas paling hese (leuwih tepat, sakabéh runtuyan maranéhanana).

Tugas 6 (Leuwih husus, téma umum). Plot icosahedron salaku tetrahedron sareng octahedron dina Sangu. 2 jeung 3 Ieu ngandung harti yén kudu aya opat bal dina unggal sisi. Dina varian ieu, tugas téh duanana waktos-consuming komo ongkosna mahal. Hayu urang mimitian ku manggihan sabaraha bal nu peryogi. Unggal beungeut boga sapuluh spheres, jadi icosahedron perlu dua ratus? Henteu! Urang kedah émut yén seueur bal anu dibagikeun. Sabaraha ujung hiji icosahedron? Ieu bisa painstakingly diitung, tapi naon rumus Euler?

w–k+s=2

dimana w, k, s masing-masing nyaéta jumlah vertex, edges, jeung faces. Urang inget yen w = 12, s = 20, nu hartina k = 30. Urang boga 30 edges of icosahedron nu. Anjeun tiasa ngalakukeun hal eta béda, sabab lamun aya 20 triangles, aranjeunna gaduh ukur 60 edges, tapi dua di antarana anu umum.

Hayu urang ngitung sabaraha bal anjeun peryogi. Dina unggal segitiga aya ngan hiji bal internal - boh di luhureun awak urang, atawa di tepi. Ku kituna, urang boga total 20 bal sapertos. Aya 12 puncak. Unggal ujung boga dua bal non-vertex (aranjeunna di jero tepi, tapi teu di jero beungeut). Kusabab aya 30 edges, aya 60 marbles, tapi dua di antarana dibagi, hartina anjeun ngan butuh 30 marbles, jadi Anjeun kudu total 20 + 12 + 30 = 62 marbles. Bal bisa dibeuli pikeun sahanteuna 50 pennies (biasana leuwih mahal). Upami anjeun tambahkeun biaya lem, éta bakal kaluar ... pisan. beungkeutan alus merlukeun sababaraha jam gawé painstaking. Babarengan aranjeunna cocog pikeun hiburan santai - Abdi nyarankeun aranjeunna tinimbang, contona, nonton TV.

Mundur 1. Dina séri pilem Andrzej Wajda Years, Days, dua lalaki maén catur "kusabab aranjeunna kedah kumaha waé waktosna dugi ka tuangeun tuangeun." Éta lumangsung di Galician Krakow. Saleresna: koran parantos dibaca (teras 4 halaman), TV sareng telepon teu acan diciptakeun, teu aya pertandingan maén bal. Bosenan dina balong. Dina kaayaan kitu, jalma datang nepi ka hiburan sorangan. Dinten ieu kami gaduh aranjeunna saatos mencét kadali jauh ...

Mundur 2. Dina rapat 2019 Asosiasi Guru Matematika, profésor Spanyol nunjukkeun program komputer anu tiasa ngalukis témbok padet dina warna naon waé. Ieu rada creepy, sabab ngan Drew leungeun, ampir neukteuk off awak. Kuring mikir sorangan: sabaraha fun anjeun bisa meunang ti "shading" misalna? Sagalana butuh dua menit, jeung kaopat urang teu apal nanaon. Samentara éta, baheula "menjahit" calms tur ngadidik. Anu teu percanten, hayu anjeunna nyobian.

Hayu urang balik deui ka abad ka-XNUMX sareng kanyataan urang. Upami urang henteu hoyong rélaxasi dina bentuk gluing bal anu nyéépkeun waktos, maka urang bakal ngagambar sahenteuna grid icosahedron, anu ujungna aya opat bal. Kumaha cara ngalakukeunana? Rendang katuhu Gbr. 6. Pamaca anu ati-ati parantos nebak masalahna:

Tugas 7. Éta mungkin mun enumerate bal kalawan angka ti 0 nepi ka 9 ambéh sakabéh angka ieu muncul dina unggal beungeut icosahedron misalna?

Keur naon urang dibayar?

Dinten ieu kami mindeng nanya ka diri sual tujuan kagiatan urang, sarta "pembayar pajeg abu" bakal nanya naha anjeunna kedah mayar matematikawan pikeun ngajawab puzzles misalna?

jawaban anu geulis basajan. "Teka-teki" sapertos kitu, pikaresepeun dina diri, mangrupikeun "sempalan tina hal anu langkung serius." Barina ogé, parades militér ngan hiji éksternal, bagian spektakuler tina jasa hésé. Kuring bakal masihan ngan hiji conto, tapi kuring bakal mimitian ku subjék matematik aneh tapi dipikawanoh sacara internasional. Taun 1852, saurang mahasiswa Inggris naroskeun ka dosenna naha tiasa ngawarnaan peta ku opat warna supados nagara tatangga sok ditampilkeun dina warna anu béda? Hayu atuh nambahan yén urang teu nganggap "tatanggana" maranéhanana anu papanggih di ngan hiji titik, kayaning nagara bagian Wyoming jeung Utah di AS. Profésor henteu terang ... sareng masalahna parantos ngantosan solusi langkung ti saratus taun.

8. Icosahedron ti blok RECO. Reflektor lampu kilat nunjukkeun naon anu umumna icosahedron sareng segitiga sareng pentagon. Lima segitiga konvergen dina unggal vertex.

Éta kajadian dina cara anu teu disangka-sangka. Taun 1976, sakelompok matematikawan Amérika nyerat program pikeun ngabéréskeun masalah ieu (sareng aranjeunna mutuskeun: leres, opat warna bakal cekap). Ieu bukti mimiti kanyataan matematik diala ku "mesin matematik" - salaku komputer disebut satengah abad ka tukang (jeung malah saméméhna: "otak éléktronik").

Ieu mangrupikeun "peta Éropa" anu ditampilkeun khusus (buah Ara. 9). Nagara-nagara anu ngagaduhan wates umum disambungkeun. Ngawarnaan peta sarua jeung ngawarnaan bunderan grafik ieu (disebut grafik) sangkan euweuh bunderan disambungkeun nu warna sarua. Titingalian Liechtenstéin, Bélgia, Perancis sareng Jerman nunjukkeun yén tilu warna henteu cekap. Upami anjeun hoyong, Reader, warna eta kalawan opat kelir.

9. Saha wates jeung saha di Éropa?

Muhun, enya, tapi éta patut duit pembayar pajeg '? Ku kituna hayu urang nempo grafik anu sarua saeutik béda. Poho yén aya nagara bagian jeung wates. Hayu bunderan melambangkan pakét informasi pikeun dikirim ti hiji titik ka nu sejen (contona, ti P ka EST), sarta bagéan ngagambarkeun kamungkinan sambungan, nu masing-masing boga rubakpita sorangan. Kirim gancang-gancang?

Kahiji, hayu urang nempo kaayaan pisan saderhana, tapi ogé pisan metot tina sudut pandang matematik. Urang kudu ngirim hiji hal ti titik S (= salaku mimiti) ka titik M (= finish) ngagunakeun jaringan sambungan jeung rubakpita sarua, nyebutkeun 1. Urang tingali ieu dina buah Ara. 10.

10. Jaringan sambungan ti Statsyika Zdrój mun Megapolis.

Hayu urang ngabayangkeun yén ngeunaan 89 bit informasi kudu dikirim ti S ka M. Panulis kecap-kecap ieu resep masalah ngeunaan karéta, janten anjeunna ngabayangkeun yén anjeunna mangrupikeun manajer di Stacie Zdrój, dimana anjeunna kedah ngirim 144 gerbong. ka stasion metropolis. Naha persis 144? Kusabab, sakumaha anu bakal urang tingali, ieu bakal dianggo pikeun ngitung throughput sadaya jaringan. Kapasitasna nyaéta 1 dina unggal lot, nyaéta. hiji mobil bisa lulus per unit waktu (hiji bit informasi, meureun ogé Gigabyte).

Hayu urang pastikeun yén sakabéh mobil papanggih dina waktos anu sareng di M. Sarerea meunang aya dina 89 unit waktu. Mun kuring boga pakét informasi pohara penting ti S mun M ngirim, Kuring megatkeun eta nepi kana grup 144 hijian jeung nyorong eta ngaliwatan sakumaha di luhur. Matematika ngajamin yén ieu bakal panggancangna. Kumaha kuring terang yén anjeun peryogi 89? Sabenerna kuring nebak, tapi upami kuring henteu nebak, kuring kedah terang persamaan Kirchhoff (naha aya anu apal? - ieu persamaan anu ngajelaskeun aliran arus). Bandwidth jaringan nyaéta 184/89, kira-kira sarua jeung 1,62.

Ngeunaan kabagjaan

Ku jalan kitu, kuring resep angka 144. Kuring resep naek beus kalayan nomer ieu ka Castle Square di Warsawa - lamun euweuh disimpen deui Royal Castle gigireun eta. Panginten pamiarsa ngora terang naon belasan. Éta 12 salinan, tapi ngan pamiarsa heubeul inget yen belasan, ie. 122=144, ieu nu disebut loba. Sareng saha waé anu terang matematika langkung sakedik tibatan kurikulum sakola bakal langsung ngartos éta buah Ara. 10 urang gaduh nomer Fibonacci sareng bandwidth jaringan caket sareng "nomer emas"

Dina runtuyan Fibonacci, 144 mangrupa hiji-hijina angka nu mangrupakeun kuadrat sampurna. Saratus opat puluh opat ogé "angka bungah." Éta kumaha saurang ahli matematika amatir India Dattatreya Ramachandra Caprecar dina 1955, anjeunna ngaranna angka nu bisa dibagi ku jumlah digit konstituén maranéhanana:

Upami anjeunna terang Adam Mickiewicz, anjeunna pasti bakal nulis euweuh di Dzyady: "Ti indung aneh; getihna pahlawan heubeul na / Jeung ngaranna opat puluh opat, ngan leuwih elegan: Jeung ngaranna téh saratus opat puluh opat.

Candak hiburan serius

Abdi ngarepkeun kuring ngayakinkeun pamiarsa yén teka-teki Sudoku mangrupikeun sisi anu pikaresepeun tina patarosan anu pasti pantes dianggap serius. Abdi henteu tiasa ngembangkeun topik ieu langkung jauh. Oh, itungan rubakpita jaringan pinuh tina diagram disadiakeun dina buah Ara. 9 nulis sistem persamaan bakal nyandak dua atawa leuwih jam - malah meureun puluhan detik (!) tina karya komputer.