Lalampahan kana dunya matematika anu teu nyata
Kuring nyerat tulisan ieu di salah sahiji lingkungan, saatos kuliah sareng prakték di kuliah élmu komputer. Kuring ngabéla diri tina kritik ka murid sakola ieu, pangaweruh maranéhna, sikep kana sains jeung, paling importantly, kaahlian pangajaran maranéhanana. Ieu ... taya sahijieun ngajarkeun aranjeunna.
Naha kuring jadi defensif? Pikeun alesan basajan - Kami dina umur nalika, meureun, dunya sabudeureun urang teu acan dipikaharti. Meureun kuring keur ngajarkeun aranjeunna abah jeung unharness kuda, jeung teu ngajalankeun mobil? Meureun kuring ngajarkeun aranjeunna nulis ku pulpen quill? Sanaos kuring gaduh pendapat anu langkung saé ngeunaan hiji jalma, kuring nganggap diri kuring "nyusul", tapi…
Nepi ka ayeuna, di SMA, aranjeunna ngobrol ngeunaan wilangan kompléks. Sareng dinten Rebo ieu kuring sumping ka bumi, lirén - ampir teu aya murid anu acan diajar naon éta sareng kumaha ngagunakeun nomer ieu. Sababaraha kasampak dina sagala matematik kawas soang dina panto dicét. Tapi kuring ogé reuwas pisan nalika aranjeunna nyarios kumaha diajar. Kantun nempatkeun, unggal jam kuliah téh dua jam PR: maca buku ajar, diajar kumaha carana ngajawab masalah dina topik nu tangtu, jsb. Sanggeus disiapkeun ku cara kieu, urang datang ka latihan, dimana urang ningkatkeun sagalana ... Pleasantly, siswa, sigana, ngira yén diuk di ceramah - paling sering nempo kaluar jandela - geus jaminan asupna pangaweruh kana sirah.
Eureun! Cukup ieu. Kuring bakal ngajelaskeun jawaban kuring kana patarosan anu kuring tampi nalika kelas sareng babaturan ti Dana Anak Nasional, lembaga anu ngadukung barudak berbakat ti sakumna nagara. Patarosan (atawa rada saran) éta:
— Dupi anjeun tiasa nyarioskeun ka kami ngeunaan nomer anu teu nyata?
“Tangtos,” walon kuring.
Realitas angka
"Babaturan anu sanés kuring, silaturahim nyaéta babandingan angka 220 sareng 284," saur Pythagoras. Intina di dieu nyaéta jumlah pangbagi nomer 220 nyaéta 284, sareng jumlah pangbagi nomer 284 nyaéta 220:
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Ku jalan kitu, urang dicatet yén Yakub Alkitabiah masihan Esau 220 domba jeung domba salaku tanda silaturahim (Kajadian 32:14). ).
Kabeneran séjén anu pikaresepeun antara nomer 220 sareng 284 nyaéta: tujuh belas nomer prima pangluhurna nyaéta 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, jeung 59.
Jumlahna nyaéta 2x220, sareng jumlah kuadrat nyaéta 59x284.
kahiji. Henteu aya konsép "nomer nyata". Saolah-olah sanggeus maca artikel ngeunaan gajah, anjeun nanya, "Ayeuna urang bade menta non-gajah." Aya sakabeh jeung non-sakabeh, rasional jeung irasional, tapi teu aya nu teu nyata. Husus: angka nu teu nyata teu disebut teu valid. Aya seueur jinis "angka" dina matematika, sareng aranjeunna béda-béda, sapertos - nyandak perbandingan zoologis - gajah sareng cacing tanah.
Kadua, urang bakal ngalakukeun operasi anu anjeun parantos terang yén dilarang: nimba akar kuadrat angka négatip. Nya, matematika bakal ngatasi halangan sapertos kitu. Teu asup akal sanajan? Dina matematika, sakumaha dina sagala elmu sejenna, naha téori asup salamina kana gudang pangaweruh gumantung ... kana aplikasi na. Lamun teu aya gunana, mangka ends nepi di sampah, lajeng dina sababaraha runtah sajarah pangaweruh. Tanpa nomer anu kuring nyarioskeun dina tungtung tulisan ieu, mustahil pikeun ngembangkeun matematika. Tapi hayu urang mimitian ku sababaraha hal leutik. Naon wilangan riil, anjeun terang. Aranjeunna ngeusian garis angka densely sarta tanpa sela. Anjeun ogé terang naon wilangan alami: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - sadayana moal pas dina memori malah greatest. Éta ogé boga ngaran geulis: alam. Aranjeunna gaduh seueur pasipatan anu pikaresepeun. Kumaha anjeun resep ieu:
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + 152 + 422 + 982 + 1232 + 1792 + 2062 + 2202 = 32 + 112 + 462 + 922 + 1292 + 1752 + 2102 + 2182
13 + 153 + 423 + 983 + 1233 + 1793 + 2063 + 2203 = 33 + 113 + 463 + 923 + 1293 + 1753 + 2103 + 2183
14 + 154 + 424 + 984 + 1234 + 1794 + 2064 + 2204 = 34 + 114 + 464 + 924 + 1294 + 1754 + 2104 + 2184
15 + 155 + 425 + 985 + 1235 + 1795 + 2065 + 2205 = 35 + 115 + 465 + 925 + 1295 + 1755 + 2105 + 2185
16 + 156 + 426 + 983 + 1236 + 1796 + 2066 + 2206 = 36 + 116 + 466 + 926 + 1296 + 1756 + 2106 + 2186
17 + 157 + 427 + 983 + 1237 + 1797 + 2067 + 2207 = 37 + 117 + 467 + 927 + 1297 + 1757 + 2107 + 2187
"Wajar pikeun kabetot dina wilangan alami," saur Karl Lindenholm, sareng Leopold Kronecker (1823-1891) nyarios sacara ringkes: "Allah nyiptakeun wilangan-wilangan alami - sadayana anu sanés mangrupikeun padamelan manusa!" Pecahan (disebut wilangan rasional ku matematikawan) ogé mibanda sipat endah:
jeung sarua:
Anjeun tiasa, mimitian ti sisi kénca, rub pluses tur ngaganti aranjeunna ku tanda multiplication - sarta sarua bakal tetep leres:
Jeung saterusna.
Sakumaha anjeun terang, pikeun fraksi a/b, dimana a sareng b mangrupikeun wilangan bulat, sareng b ≠ 0, aranjeunna nyarios. angka rasional. Tapi ngan dina basa Polandia maranéhna nyebut dirina éta. Aranjeunna nyarios Inggris, Perancis, Jerman sareng Rusia. angka rasional. Dina basa Inggris: angka rasional. Angka irasional éta teu rasional, teu rasional. Urang ogé nyarita Polandia ngeunaan téori irasional, gagasan jeung kalakuan - ieu madness, imajinér, inexplicable. Aranjeunna nyarios yén awéwé sieun ku beurit - naha éta henteu rasional?
Di jaman baheula, angka boga jiwa. Masing-masing hartosna hiji hal, masing-masing ngalambangkeun hal, masing-masing ngagambarkeun partikel tina harmoni Alam Semesta, nyaéta, dina Yunani, Kosmos. Kecap "kosmos" hartina persis "urutan, urutan". Pangpentingna éta genep (jumlah sampurna) jeung sapuluh, jumlah tina angka padeukeut 1 + 2 + 3 + 4, diwangun ku angka sejen, symbolism nu geus salamet nepi ka poé ieu. Janten Pythagoras ngajarkeun yén angka mangrupikeun awal sareng sumber sadayana, sareng ngan ukur penemuan angka irasional ngarobah gerakan Pythagoras nuju géométri. Urang terang alesan ti sakola éta
√2 mangrupa wilangan irasional
Pikeun anggap yén aya: na yén fraksi ieu teu bisa ngurangan. Utamana, duanana p jeung q anu ganjil. Hayu urang pasagi: 2q2=p2. Jumlah p teu bisa ganjil, saprak lajeng p2 ogé bakal jadi, jeung sisi kénca sarua mangrupa kelipatan 2. Ku kituna, p genap, nyaéta, p = 2r, ku kituna p2= 4r2. Urang ngurangan persamaan 2q2= 4r2 ku 2. Urang meunang q2= 2r2 sarta kami ningali yén q ogé kudu malah, nu urang dianggap teu kitu. Kontradiksi anu dihasilkeun ngalengkepan buktina - rumus ieu mindeng bisa kapanggih dina unggal buku matematik. Bukti kaayaan ieu mangrupikeun trik favorit para sophists.
Immensity ieu teu bisa dipikaharti ku Pythagoreans. Sadayana kedah tiasa dijelaskeun ku nomer, sareng diagonal kuadrat, anu saha waé tiasa ngagambar kalayan iteuk dina pasir, teu aya, nyaéta, ukuran, panjangna. "Iman kami sia-sia," saur Pythagoreans. Kumaha? Ieu jenis ... irasional. Uni diusahakeun nyalametkeun dirina ku métode sectarian. Saha waé anu wani nembongkeun ayana angka irasional, ieu kudu dihukum ku pati, jeung, sigana, kalimah kahiji dilaksanakeun ku master sorangan.
Tapi "pamikiran lulus unscathed." Jaman kaemasan parantos sumping. Yunani ngéléhkeun Persia (Marathon 490, Blok 479). Démokrasi dikuatkeun, pusat-pusat pamikiran filosofis anyar sareng sakola anyar timbul. The Pythagoreans masih bajoang jeung angka irasional. Sababaraha ngahutbah: urang moal ngarti misteri ieu; urang ngan bisa contemplate jeung marvel di Uncharted. Anu terakhir langkung pragmatis sareng henteu ngahargaan Misteri. Waktu éta, dua konstruksi méntal mucunghul nu ngamungkinkeun pikeun ngarti angka irasional. Kanyataan yén urang ngartos aranjeunna cukup ogé kiwari milik Eudoxus (abad ka-XNUMX SM), sarta ngan dina ahir abad ka-XNUMX nu matematikawan Jerman Richard Dedekind masihan téori Eudoxus ngembangkeun ditangtoskeun luyu jeung sarat rigorous. logika matematik.
Massa inohong atanapi panyiksaan
Naha anjeun tiasa hirup tanpa angka? Komo lamun hirup bakal jadi ... Urang bakal kudu indit ka toko meuli sapatu jeung iteuk, nu urang saméméhna diukur panjang suku. "Abdi hoyong apel, ah, ieu!" – urang bakal mintonkeun sellers di pasar. "Sabaraha jauhna ti Modlin ka Nowy Dwur Mazowiecki"? “Deukeut pisan!”
Angka dipaké pikeun ngukur. Kalayan pitulung maranéhanana, kami ogé nganyatakeun loba konsep lianna. Salaku conto, skala peta nunjukkeun sabaraha daérah nagara parantos turun. Skala dua-ka-hiji, atawa ngan saukur 2, expresses kanyataan yén hiji hal geus dua kali dina ukuranana. Hayu urang nyebutkeun matematis: unggal homogénitas pakait jeung angka - skala na.
Tugas. Urang nyieun salinan xerographic, ngagedekeun gambar sababaraha kali. Lajeng fragmen enlarged ieu deui enlarged b kali. Naon skala magnification umum? Jawaban: a × b dikalikeun b. Skala ieu kedah dikalikeun. The "minus one" angka, -1, pakait jeung hiji precision nu dipuseurkeun, nyaéta diputer 180 derajat. Nomer naon anu cocog sareng péngkolan 90 derajat? Henteu aya nomer sapertos kitu. Nya, éta… atanapi langkung tepatna, éta bakal énggal. Naha anjeun siap pikeun panyiksaan moral? Candak kawani jeung nyokot akar kuadrat dikurangan hiji. Abdi ngadangukeun? Naon teu bisa? Barina ogé, ceuk kuring kudu wani. Tarik kaluar! Hei, muhun, tarik, tarik ... Abdi bakal nulungan ... Ieuh: -1 Ayeuna urang boga eta, hayu urang coba ngagunakeun eta ... Tangtosna, ayeuna urang bisa nimba akar sagala angka négatip, pikeun conto.:
√-4 = 2√-1,-16 = 4√-1
"Henteu paduli kasangsaraan méntal anu aya." Ieu anu ditulis Girolamo Cardano dina 1539, nyobian nungkulan kasusah méntal pakait sareng - sakumaha eta geura-giru datang ka disebut - kuantitas imajinér. Anjeunna dianggap ieu ...
...Tugas. Bagikeun 10 jadi dua bagian, produk nu 40. Kuring inget yen ti episode saméméhna manéhna nulis hal kawas kieu: Pasti teu mungkin. Sanajan kitu, hayu urang ngalakukeun ieu: ngabagi 10 jadi dua bagian sarua, unggal sarua jeung 5. Kalikeun aranjeunna - tétéla 25. Ti 25 hasilna, ayeuna subtract 40, upami anjeun resep, sarta anjeun meunang -15. Ayeuna tingali: √-15 ditambahkeun jeung dikurangan tina 5 méré Anjeun hasil tina 40. Ieu mangrupakeun angka 5-√-15 jeung 5 + √-15. Verifikasi hasil dilaksanakeun ku Cardano sapertos kieu:
“Sanaos nyeri haté, kalikeun 5 + √-15 ku 5-√-15. Kami nampi 25 - (-15), anu sami sareng 25 + 15. Janten, produkna nyaéta 40 .... Hese pisan."
Sabaraha: (1 + √-1) (1-√-1)? Hayu urang kalikeun. Inget yén √-1 × √-1 = -1. Hebat. Ayeuna tugas anu langkung hese: ti a + b√-1 dugi ka ab√-1. Aya naon? Tangtosna, sapertos kieu: (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
Naon metot ngeunaan ieu? Salaku conto, kanyataan yén urang tiasa faktorize ungkapan yén urang "teu terang sateuacanna." Rumus multiplikasi disingget pikeun2-b2 Naha anjeun apal rumus pikeun2+b2 éta henteu, sabab teu bisa jadi. Dina domain wilangan riil, polinomial2+b2 éta teu bisa dihindari. Hayu urang denote "urang" akar kuadrat tina "dikurangan hiji" jeung hurup i.2= -1. Éta mangrupikeun nomer prima "teu nyata". Sareng éta anu ngajelaskeun péngkolan 90 derajat pesawat. Naha? Barina ogé,2= -1, sarta ngagabungkeun hiji rotasi 90-derajat jeung rotasi 180-derajat sejen méré rotasi 45-derajat. Naon jinis rotasi anu dijelaskeun? Jelas XNUMX derajat péngkolan. Naon hartina -i? Ieu saeutik leuwih pajeulit:
(-ABDI)2 = -i × (-i) = + kuring2 = -1
Jadi -i ogé ngajelaskeun rotasi 90 derajat, ngan dina arah sabalikna ti rotasi i urang. Mana nu kénca jeung mana nu katuhu? Anjeun kudu nyieun pasini. Urang nganggap yén jumlah i nangtukeun hiji rotasi dina arah nu matematikawan mertimbangkeun positif: counterclockwise. Jumlah -i ngajelaskeun rotasi dina arah nu pointers pindah.
Tapi naha nomer sapertos i sareng -i aya? Dupi! Urang ngan dibawa aranjeunna hirup. Abdi ngadangukeun? Éta aranjeunna ukur aya dina sirah urang? Muhun naon nyangka? Kabéh angka séjén ogé ngan aya dina pikiran urang. Urang kedah ningali upami nomer bayi urang salamet. Langkung tepatna, naha desainna logis sareng naha éta bakal mangpaat pikeun hiji hal. Mangga nyandak kecap kuring pikeun eta sagalana aya dina urutan na yén nomer anyar ieu bener mantuan. Angka kawas 3+i, 5-7i, leuwih umum: a+bi disebut wilangan kompléks. Kuring nunjukkeun ka anjeun kumaha anjeun tiasa kéngingkeun aranjeunna ku ngagulung pesawat. Éta bisa diasupkeun ku cara béda: salaku titik dina pesawat, sakumaha sababaraha polynomials, sakumaha sababaraha jenis arrays numerik ... sarta unggal waktos aranjeunna sami: persamaan x2 +1=0 euweuh unsur... hocus pocus geus aya!!!! Hayu urang girang sareng girang !!!
Tungtung wisata
Ieu nyimpulkeun wisata munggaran urang di nagara nomer palsu. Tina angka unearthly séjén, Kuring ogé bakal nyebut jalma nu boga angka tanpa wates of digit di hareup, teu balik (aranjeunna disebut 10-adic, keur urang p-adic leuwih penting, dimana p mangrupakeun angka prima), pikeun conto X = … … … 96109004106619977392256259918212890625
Mangga urang cacah X2. Salaku? Kumaha lamun urang ngitung kuadrat hiji angka dituturkeun ku jumlah taya angka? Nya, hayu urang sami-sami. Urang terang yén x2 = H.
Hayu urang milarian nomer anu sanés kalayan jumlah angka anu henteu terbatas di payun anu nyugemakeun persamaan. Petunjuk: kuadrat hiji angka anu ditungtungan ku genep ogé ditungtungan ku genep. Kuadrat hiji wilangan anu ditungtungan ku 76 ogé ditungtungan ku 76. Kuadrat hiji angka anu ditungtungan ku 376 ogé ditungtungan ku 376. Kuadrat hiji angka anu ditungtungan ku 9376 ogé ditungtungan ku 9376. Kuadrat hiji angka anu ditungtungan ku XNUMX. XNUMX dina… Aya ogé nomer anu leutik pisan, janten positip, aranjeunna tetep langkung alit tibatan nomer positip anu sanés. Éta leutik pisan sahingga kadang cukup ku kuadrat aranjeunna pikeun nampi nol. Aya angka nu teu nyugemakeun kaayaan a × b = b × a. Aya ogé angka nu taya watesna. Sabaraha wilangan alami? Teu aya watesna loba? Enya, tapi sabaraha? Kumaha ieu bisa dinyatakeun salaku angka? Jawaban: pangleutikna tina angka taya wates; Hal ieu ditandaan ku hurup anu éndah: A sareng ditambah ku indéks enol A0 , aleph-enol.
Aya ogé angka nu urang teu nyaho aya... atawa nu bisa dipercaya atawa teu percaya sakumaha anjeun mangga. Sarta diomongkeun ngeunaan kawas: Kuring miharep anjeun masih resep Unreal Numbers, Fantasy Spésiés Nomer.
