Modél basajan kalawan paripolah kompléks i.e. rusuh

Komputer mangrupikeun alat anu beuki dianggo ku para ilmuwan pikeun mendakan rahasia anu disumputkeun sacara saksama ku alam. Modeling, sareng ékspérimén sareng téori, janten cara katilu pikeun diajar dunya.

Tilu taun ka tukang, di Universitas Silesia, urang ngamimitian program pikeun ngahijikeun metode komputer kana pendidikan. Hasilna, seueur bahan didaktik anu pikaresepeun pisan parantos diciptakeun, ngajantenkeun langkung gampang sareng langkung jero pikeun diajar seueur topik. Python dipilih salaku alat utama, nu bareng jeung kakawasaan perpustakaan ilmiah sadia, meureun solusi pangalusna pikeun "percobaan komputer" kalawan persamaan, gambar atawa data. Salah sahiji palaksanaan paling narik tina workbench lengkep nyaéta Sage [2]. Ieu mangrupa integrasi kabuka tina sistem aljabar komputer jeung basa Python, sarta ogé ngidinan Anjeun pikeun geuwat mimiti muterkeun ngagunakeun web browser sarta salah sahiji pilihan aksés mungkin ngaliwatan layanan awan [3] atawa server komputasi tunggal on nu interaktif. Vérsi artikel ieu dumasar kana [4] .

Rusuh w ékologi

Dina taun ka-1 di Universitas Oxford, élmuwan Australia Robert May diajar aspék téoritis dinamika demografi. Anjeunna nyimpulkeun karyana dina makalah anu muncul dina jurnal Nature dina judul provokatif "Model Matematika Sederhana sareng Dinamika Kompleks pisan" [XNUMX]. Sapanjang taun, tulisan ieu parantos janten salah sahiji karya anu paling dicutat dina ékologi téoritis. Naon anu nyababkeun minat sapertos kitu dina karya ieu?

Masalah klasik dinamika populasi nyaéta ngitung populasi kahareup spésiés tinangtu, tinangtu kaayaan kiwari. Sacara matematis, ékosistem dianggap pangbasajanna dimana kahirupan hiji generasi populasi lumangsung hiji mangsa. Conto anu hadé nyaéta populasi serangga anu ngalaman métamorfosis lengkep dina hiji mangsa, sapertos kukupu. Waktos sacara alami dibagi kana période diskrit2 pakait sareng siklus kahirupan populasi. Ku kituna, persamaan anu ngajéntrékeun ékosistem sapertos kitu sacara alami gaduh anu disebut waktos diskrit, i.e. t = 1,2,3…. Robert May diurus dinamika sapertos kitu, antara séjén. Dina alesanana, anjeunna nyederhanakeun ékosistem kana hiji spésiés anu populasina mangrupa fungsi kuadrat tina populasi taun saméméhna. Dimana asalna model ieu?

Persamaan diskrit pangbasajanna ngajéntrékeun évolusi populasi nyaéta modél linier:

dimana Ni kaayaanana dina usum i-th, sarta Ni + 1 ngajelaskeun populasi dina usum hareup. Gampang ningali yén persamaan sapertos kitu tiasa ngakibatkeun tilu skenario. Lamun a = 1, évolusi moal ngarobah ukuran populasi, sarta <1 ngakibatkeun punah, sarta kasus a> 1 hartina pertumbuhan populasi taya. Ieu bakal ngakibatkeun saimbangna di alam. Kusabab sagalana di alam kawates, ngajadikeun rasa nyaluyukeun persamaan ieu akun pikeun jumlah kawates sumberdaya. Bayangkeun yén hama ngahakan gandum, anu unggal taun persis sami. Lamun serangga saeutik dibandingkeun jeung jumlah dahareun maranéhna bisa baranahan, aranjeunna bisa baranahan dina kakuatan réproduktif pinuh, matematis ditangtukeun ku konstanta a> 1. Sanajan kitu, nalika jumlah hama naek, dahareun bakal langka tur kapasitas réproduktif bakal ngurangan. Dina kasus kritis, hiji bisa ngabayangkeun yén jadi loba serangga anu dilahirkeun nu ngadahar sakabeh gandum saméméh maranéhna boga waktu pikeun baranahan, sarta populasi maot. Modél anu tumut kana akun pangaruh ieu aksés kawates kana dahareun munggaran diajukeun ku Verhulst di 1838. Dina modél ieu, laju pertumbuhan henteu konstan, tapi gumantung kana kaayaan populasi:

Hubungan antara laju pertumbuhan a jeung Ni kudu boga sipat handap: lamun populasi naek, laju tumuwuh kudu ngurangan sabab aksés ka dahareun hésé. Tangtosna, aya seueur fungsi sareng sipat ieu: ieu mangrupikeun fungsi luhur-handap. Verhulst ngusulkeun hubungan ieu:

dimana a>0 jeung konstanta K>0 ciri sumberdaya pangan jeung disebut kapasitas lingkungan. Kumaha parobahan dina K mangaruhan laju pertumbuhan populasi? Lamun K nambahan, Ni/K turun. Kahareupna ieu ngakibatkeun kanyataan yén 1-Ni / K tumuwuh, nu hartina tumuwuh. Ieu ngandung harti yén laju tumuwuhna ngaronjat sarta populasi tumuwuh gancang. Ku kituna hayu urang ngaropea model saméméhna (1) ku asumsina yén laju tumuwuh robah saperti dina persamaan (3). Teras we meunang persamaan

Persamaan ieu bisa ditulis salaku persamaan rekursif

dimana xi = Ni / K jeung xi + 1 = Ni + 1 / K nuduhkeun populasi rescaled dina waktu i jeung waktu i + 1. Persamaan (5) disebut persamaan logistik.

Sigana mah ku modifikasi leutik sapertos kitu, model urang gampang dianalisis. Hayu urang pariksa kaluar. Pertimbangkeun persamaan (5) pikeun parameter a = 0.5 dimimitian ti populasi awal x0 = 0.45. Nilai populasi sequential tiasa dicandak nganggo persamaan rekursif (5):

x₁= kampak₀(1st₀)

x₂= kampak₁(1st₁)

x₃= kampak₂(1st₂)

Pikeun mempermudah itungan dina (6), urang tiasa nganggo program di handap ieu (eta ditulis dina Python jeung bisa dijalankeun, antara séjén, dina platform Sage. Kami ngarékoméndasikeun nu maca buku http://icse.us.edu .pl/e-book . ), meniru modél urang:

a = 0.5 x = 0.45 pikeun i dina rentang (10):      x \u1d a * x * (XNUMX-x)      nyitak x

Kami ngitung nilai-nilai berturut-turut xi sareng perhatikeun yén aranjeunna condong nol. Ku ékspérimén kalawan kode luhur, éta ogé gampang pikeun nempo yén ieu téh leres paduli nilai awal x0. Ieu ngandung harti yén populasi terus dying.

Dina tahap kadua analisis, urang ningkatkeun nilai parameter a kana sagala nilai dina rentang ae (1,3). Tétéla yén urutan xi mana kana jumlah nu tangtu x * > 0. Nafsirkeun ieu tina sudut pandang ékologi, urang bisa disebutkeun yen ukuran populasi tetep dina tingkat nu tangtu, nu teu robah ti mangsa ka mangsa. . Perlu dicatet yén nilai x * henteu gumantung kana kaayaan awal x0. Ieu mangrupikeun pangaruh tina usaha ékosistem pikeun stabilisasi - populasi nyaluyukeun ukuranana kana kamampuan pikeun nyoco sorangan. Sacara matematis, disebutkeun yen sistem condong ka titik tetep stabil, i.e. nyugemakeun sarua x = f(x) (ieu hartina dina momen saterusna kaayaan sarua jeung momen saméméhna). Kalayan Sage, urang tiasa ngabayangkeun évolusi ieu sacara grafis ku ngarencanakeun populasi dina waktosna.

Éfék stabilisasi sapertos anu dipiharep ku panalungtik, sareng persamaan logistik (5) moal bakal narik perhatian upami henteu heran. Tétéla yén pikeun nilai-nilai parameter anu tangtu, modél (5) berperilaku dina cara anu teu kaduga. Kahiji, aya kaayaan periodik jeung multiperiodic. Bréh, kalawan unggal hambalan waktos, populasi robah unevenly, kawas gerakan acak. Katilu, aya sensitipitas hébat kana kaayaan awal: dua kaayaan awal ampir teu bisa dibédakeun ngakibatkeun évolusi populasi lengkep béda. Sadaya fitur ieu mangrupikeun ciri kabiasaan anu nyarupaan gerakan acak lengkep sareng disebut huru-hara deterministik.

Hayu urang ngajalajah harta ieu!

Kahiji, hayu urang nyetel nilai tina parameter a = 3.2 jeung kasampak di évolusi. Ieu mungkin sigana héran yén waktos ieu populasi ngahontal teu hiji nilai, tapi dua, nu lumangsung consecutively unggal usum kadua. Sanajan kitu, tétéla yén masalah teu mungkas dinya. Kalawan a = 4, sistem geus euweuh bisa diprediksi. Hayu urang tingali gambar (2) atanapi urang bakal ngahasilkeun runtuyan angka sorangan ngagunakeun komputer. Hasilna sigana murni acak sareng rada béda pikeun populasi awal anu rada béda. Sanajan kitu, nu maca attentive kudu obyék. Kumaha sistem anu dijelaskeun ku persamaan deterministik1, bahkan anu saderhana pisan, tiasa kalakuan teu kaduga? Muhun, meureun.

Fitur tina sistem ieu nyaéta sensitipitas anu luar biasa kana kaayaan awal. Cukup pikeun mimitian ku dua kaayaan awal anu béda-béda sajuta, sareng dina sababaraha léngkah urang bakal nampi nilai populasi anu béda-béda. Hayu urang pariksa dina komputer:

a = 4.0

x = 0.123 y = 0.123 + 0.000001 PCC = [] pikeun i dina rentang (25): x = a*x*(1-x) y = a*y*(1-y) nyitak x,y

Ieu modél basajan évolusi deterministik. Tapi determinisme ieu nipu, éta ngan determinisme matematik. Ti sudut pandang praktis, sistem behaves unpredictably sabab urang pernah bisa nangtukeun kaayaan awal matematis persis. Kanyataanna, sagalana geus ditangtukeun kalawan akurasi tangtu: unggal alat ukur boga akurasi tangtu, sarta ieu bisa ngabalukarkeun unpredictability praktis dina sistem deterministik nu boga sipat rusuh. Hiji conto nyaéta modél ramalan cuaca, anu sok nunjukkeun sipat huru-hara. Éta sababna ramalan cuaca jangka panjang parah pisan.

Analisis sistem kacau pisan hésé. Nanging, urang tiasa ngabéréskeun seueur misteri huru-hara kalayan gampang kalayan bantosan simulasi komputer. Hayu urang ngagambar anu disebut diagram bifurcation, dimana urang nempatkeun nilai parameter a sapanjang sumbu abscissa, sareng titik tetep stabil tina pemetaan logistik sapanjang sumbu ordinat. Kami kéngingkeun titik anu stabil ku simulasi sajumlah ageung sistem sakaligus sareng ngarencanakeun nilai saatos sababaraha kali sampel. Sakumaha anjeun panginten, ieu peryogi seueur itungan. Hayu urang coba "sacara saksama" ngolah nilai-nilai ieu:

impor numpy sakumaha np Nx = 300 Éta = 500 х = np.linspace (0,1, Nx) х = х + np.enol ((Na, Nx)) h = np.transpose (h) a = np.linspace (1,4, Na) a=a+np.nol((Nx,Na)) pikeun i dina rentang (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] pikeun a_,x_ in zip(a.rarata(),x.rarata())] titik (pt, ukuran = 1, figsize = (7,5))

Urang kedah nampi anu sami sareng gambar (3). Kumaha napsirkeun gambar ieu? Salaku conto, kalayan nilai parameter a = 3.3, urang gaduh 2 titik tetep stabil (ukuran populasi sami unggal usum kadua). Najan kitu, pikeun parameter a = 3.5 kami boga 4 titik konstan (unggal usum kaopat populasi boga angka nu sami), sarta pikeun parameter a = 3.56 kami boga 8 titik konstan (unggal usum kadalapan populasi boga angka anu sarua). Tapi pikeun parameter a≈3.57, urang gaduh infinitely loba titik tetep (ukuran populasi pernah repeats sarta parobahan dina cara unpredictable). Sanajan kitu, ku program komputer, urang bisa ngarobah wengkuan parameter a tur neuleuman struktur geometri taya wates of diagram ieu kalawan leungeun-Na sorangan.

Ieu ngan ujung gunung es nu. Rébuan makalah ilmiah geus ditulis ngeunaan persamaan ieu, tapi masih hides Rahasia na. Kalayan bantosan simulasi komputer, anjeun tiasa, tanpa nganggo matematika anu langkung luhur, maénkeun pelopor dunya dinamika nonlinier. Kami ngajak anjeun maca versi online anu ngandung detil ngeunaan seueur sipat anu pikaresepeun tina persamaan logistik sareng cara anu pikaresepeun pikeun ngabayangkeunana.

¹ Hukum deterministik nyaéta hukum anu masa depan ditangtukeun sacara unik ku kaayaan awal. Antonim nyaéta hukum probabilistik. ² Dina matematika, "diskrit" hartina meunang nilai tina set countable tangtu. Sabalikna nyaéta "kontinyu".