Naha urang henteu ngabagi ku nol?

Pamiarsa meureun heran naha kuring bakti hiji sakabéh artikel kana masalah banal misalna? Alesanana nyaéta jumlah siswa anu ngahudangkeun (!) sagawayah ngalaksanakeun operasi dina nami. Sareng henteu ngan ukur murid. Sakapeung kuring nyekel jeung guru. Naon anu bakal tiasa dilakukeun ku murid guru sapertos dina matematika? Alesan langsung pikeun nyerat téks ieu nyaéta paguneman sareng guru anu ngabagi ku nol henteu janten masalah ...

Kalawan nol, enya, iwal repot nanaon pisan, sabab urang teu bener perlu ngagunakeun eta dina kahirupan sapopoe. Kami henteu balanja endog nol. "Aya hiji jalma di kamar" disada kumaha bae alam, sarta "enol jalma" disada jieunan. Ahli basa nyebutkeun yén nol téh di luar sistem basa.

Urang ogé tiasa ngalakukeun tanpa nol dina rekening bank: ngan ukur nganggo - sapertos dina térmométer - beureum sareng biru pikeun nilai positip sareng négatip (perhatikeun yén pikeun suhu lumrah ngagunakeun beureum pikeun angka positip, sareng pikeun rekening bank éta. nyaéta sabalikna, sabab debit kedah memicu peringatan, jadi beureum disarankeun pisan).

Ku kaasup enol salaku angka alam, urang némpél dina masalah diferensiasi Nomer kardinal od rumah tangga. Dina 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

kakuatan angka sarua jeung nomer tempat dimana eta nangtung. Upami teu kitu, éta parantos aya dina urutan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Jumlah set singleton asalna kadua, jumlah susunan dua elemen asalna katilu, jeung saterusna. Urang kedah ngajelaskeun naha, contona, urang henteu nomeran tempat atlit dina kompetisi ti scratch. Lajeng juara kahiji-tempat bakal nampa medali pérak (emas indit ka juara enol-tempat), jeung saterusna. Prosedur rada sarupa ieu dipaké dina maén bal - Kuring henteu weruh lamun Pamiarsa nyaho yén "liga hiji" hartina " nuturkeun anu pangsaéna." ", sareng liga enol disebut janten "liga utama".

Sakapeung urang ngadangu argumen yen urang kudu mimitian ti scratch, sabab merenah pikeun urang IT. Neruskeun pertimbangan ieu, definisi kilométer kedah dirobih - kedahna 1024 m, sabab ieu mangrupikeun jumlah bait dina kilobyte (Kuring bakal ngarujuk kana lulucon anu dipikanyaho ku élmuwan komputer: "Naon bédana antara freshman sareng mahasiswa élmu komputer sareng mahasiswa taun kalima fakultas ieu? yén kilobyte nyaéta 1000 kilobyte, anu terakhir - yén kilométer nyaéta 1024 méter")!

Sudut pandang anu sanés, anu kedahna dianggap serius, nyaéta: urang sok ngukur ti mimiti! Cukup pikeun ningali skala naon waé dina pangawasa, dina skala rumah tangga, bahkan dina jam. Kusabab urang ngukur tina enol, sareng cacah tiasa dihartoskeun salaku ukuran kalayan unit anu henteu diménsi, maka urang kedah ngitung tina enol.

Ieu masalah basajan, tapi ...

Hayu urang ninggalkeun penalaran umum jeung balik ka division ku nol. Perkawisna saderhana sareng saderhana upami henteu ... janten kumaha? Hayu urang pikir jeung cobaan. Sabaraha tiasa - hiji dibagi enol? Hayu urang tingali: 1/0 = x. Kalikeun dua sisi ku pangbagi sisi kénca.

Urang meunang 1 = 0. Aya nu lepat! Aya naon? Ah tebak! Anggapan yén aya hasil tina persatuan sareng nol ngabalukarkeun kontradiksi. Tur upami hiji teu bisa dibagi ku enol, lajeng angka sejen bisa. Lamun, Reader, anjeun shrug taktak anjeun sarta heran naha pangarang (nyaéta, abdi) nyerat ngeunaan platitudes misalna, lajeng ... Abdi bungah pisan!

Rumus 0/0 = 0 bisa dibéla dina dasar nekad, tapi contradicts aturan yén hasil ngabagi hiji angka ku sorangan sarua jeung hiji. Leres pisan, tapi rada béda nyaéta simbol sapertos 0/0, ° / ° sareng anu sanés dina kalkulus. Éta henteu hartosna nomer naon waé, tapi mangrupikeun sebutan simbolis pikeun sekuen tina jinis anu tangtu.

Dina buku rékayasa listrik, kuring mendakan perbandingan anu pikaresepeun: ngabagi ku enol mangrupikeun bahaya sapertos listrik tegangan tinggi. Ieu normal: Hukum Ohm nyebutkeun yén babandingan tegangan jeung lalawanan sarua jeung ayeuna: V = U / R. Lamun lalawanan éta nol, arus téoritis taya bakal ngalir ngaliwatan konduktor, ngaduruk sakabéh konduktor mungkin.

Kuring sakali nulis sajak ngeunaan bahaya ngabagi ku enol pikeun unggal poe dina saminggu. Abdi émut yén dinten anu paling dramatis nyaéta dinten Kemis, tapi karunya pikeun sadaya padamelan abdi di daérah ieu.

Lamun anjeun ngabagi hiji hal ku nol

Pohara mimiti Senén

Minggu naon anu kajantenan

Anjeun parantos gagal pisan.

Nalika Salasa soré

Anjeun nempatkeun nol dina pangbagi

Kuring gé ngabejaan Anjeun lajeng, anjeun salah

Ahli matematika goréng!

Nalika ngaliwatan nol, ngaliwatan perversion,

Hayang pisah Rebo

Anjeun bakal meunang dina loba gangguan

Anjeun ngagaduhan jarami sareng cai dina sirah anjeun!

Bartek tangtu aya sareng kami.

Anjeunna bertentangan sareng aturan.

Dina Kemis, éta bisa dibagi ku nol.

Anjeunna henteu deui diantara urang!

Lamun kahayang aneh nyokot nyekel anjeun

Bagikeun ku enol dina Jumaah

Abdi jujur, abdi bakal jujur:

Mimiti goréng pikeun sabtu minggu ieu.

Nalika éta nol, tempat dina Saptu

Divider bakal milik anjeun (henteu kandel)

Nangtung handapeun pager garéja.

Ieu kabangkitan anjeun.

Naha anjeun hoyong nol handapeun dash,

Jieun libur dina Minggu

Mawa kapur tulis, papan hideung.

Tulis: teu bisa dibagi nol!

Nol pakait sareng kakosongan sareng kakosongan. Mémang, anjeunna sumping ka matematika salaku kuantitas anu, upami ditambah kana naon waé, henteu ngarobih: x + 0 = x. Tapi ayeuna enol muncul dina sababaraha nilai séjén, utamana salaku mimiti skala. Upami di luar jandela teu aya suhu positip atanapi ibun, maka ... ieu nol, anu henteu hartosna teu aya suhu. Tugu kelas enol sanés mangrupikeun anu parantos dibongkar salami lami sareng teu aya. Sabalikna, éta sapertos Wawel, Menara Eiffel sareng Patung Liberty.

Nya, pentingna nol dina sistem posisional boro tiasa diéstimasikeun. Naha anjeun terang, Pamiarsa, sabaraha nol dina rekening bankna Bill Gates? Kuring henteu weruh, tapi Abdi hoyong satengah. Tétéla, Napoleon Bonaparte perhatikeun yén jalma-jalma sapertos nol: aranjeunna nampi makna tina jabatan. Dina pilem Andrzej Wajda salaku Taun, Salaku Days Go by, artis gairah Jerzy explodes: "The Philistine is zero, nihil, nothing, nothing, nihil, zero." Tapi enol bisa jadi alus: "enol simpangan tina norma" hartina sagalana bade ogé, sarta tetep nepi!

Hayu urang balik deui ka matematika. Nol bisa ditambahkeun, dikurangan jeung dikali impunity. "Kuring meunang nol kilogram," ceuk Manya ka Anya. "Sareng ieu pikaresepeun, sabab kuring kaleungitan beurat anu sami," walon Anya. Ku kituna hayu urang dahar genep nol porsi és krim genep kali, éta moal menyakiti urang.

Urang teu bisa ngabagi ku enol, tapi urang bisa ngabagi ku enol. Hiji piring enol pangsit bisa gampang dibikeun ka jalma anu keur ngantosan dahareun. Sabaraha unggal bakal meunang?

Nol henteu positip atanapi négatip. Ieu sareng nomerna non-positipи non-négatip. Ieu nyugemakeun kateusaruaan x≥0 jeung x≤0. Kontradiksi "hal positif" lain "hal négatip", tapi "hal négatip atawa sarua jeung nol". Matematikawan, sabalikna tina aturan basa, bakal salawasna nyebutkeun yén hal "sarua jeung enol" teu "enol". Pikeun menerkeun prakték ieu, urang kudu: lamun urang maca rumus x = 0 "x enol", lajeng x = 1 urang baca "x sarua jeung hiji", nu bisa swallowed, tapi kumaha upami "x = 1534267"? Anjeun oge teu bisa nangtukeun nilai numerik kana karakter 0⁰atawa ngangkat enol kana kakuatan négatip. Di sisi séjén, anjeun tiasa akar enol di will ... sarta hasilna bakal salawasna enol. 

Fungsi éksponénsial y = a^x, dasar positif a, pernah jadi nol. Ieu nuturkeun yén teu aya logaritma enol. Mémang, logaritma a ka basa b nyaéta éksponén nu dasarna kudu diangkat pikeun meunangkeun logaritma a. Pikeun a = 0, teu aya indikator sapertos kitu, sareng nol henteu tiasa janten dasar logaritma. Sanajan kitu, enol dina "penyebut" simbol Newton mangrupa hal sejenna. Kami nganggap yén konvénsi ieu henteu ngakibatkeun kontradiksi.

bukti palsu

Divisi ku enol mangrupakeun subjék umum pikeun proofs palsu, sarta eta kajadian malah ka matematikawan ngalaman. Hayu atuh masihan anjeun dua conto favorit kuring. Anu kahiji nyaéta aljabar. Kuring baris "ngabuktikeun" yen sakabeh angka sarua. Anggap aya dua angka nu teu sarua. Ku alatan éta, salah sahijina leuwih gede ti nu sejen, hayu a > b. Hayu urang nganggap yén c nyaéta bédana maranéhanana

c \uXNUMXd a - b. Janten urang gaduh a - b = c, dimana a = b + c.

Urang kalikeun duanana bagian tina dimungkinkeun ku a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Kuring narjamahkeun ak ka sisi kénca, tangtu kuring apal ngeunaan ngarobah tanda:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Kuring ngaluarkeun faktor umum:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Kuring babagi jeung kuring boga naon kuring hayang:

a = b.

Sarta sabenerna malah muhrim, sabab kuring nganggap yén a > b, sarta kuring meunang nu a = b.. Lamun dina conto di luhur "selingkuh" gampang pikeun mikawanoh, lajeng dina bukti geometri handap teu jadi gampang. Kuring bakal ngabuktikeun yén ... trapezoid teu aya. Sosok anu biasa disebut trapezoid henteu aya.

Tapi anggap heula yén aya hiji hal kayaning trapezoid a (ABCD dina gambar di handap). Cai mibanda dua sisi paralel ("basa"). Hayu urang manteng basa ieu, ditémbongkeun saperti dina gambar, ku kituna urang meunang parallelogram a. Diagonal na ngabagi diagonal séjén trapesium kana ruas-ruas anu panjangna dilambangkeun x, y, z, saperti dina angka 1. Tina kasaruaan segitiga anu saluyu, urang kéngingkeun babandingan:

dimana urang nangtukeun:

Oraz

dimana urang nangtukeun:

Kurangkeun sisi sarua anu ditandaan ku tanda bintang:

 Shortening kadua sisi ku x − z, urang meunang - a / b = 1, nu hartina a + b = 0. Tapi angka a, b nyaéta panjang tina basa trapezoid nu. Upami jumlahna nol, maka aranjeunna ogé nol. Ieu ngandung harti yén inohong kawas trapezoid a teu bisa aya! Sareng sabab sagi opat, rombus sareng kuadrat ogé trapezoid, maka, pamiarsa anu dipikacinta, henteu aya rhombuses, rectangles sareng kuadrat ...

Sapertos kitu

Ngabagikeun inpormasi mangrupikeun anu paling pikaresepeun sareng nangtang tina opat kagiatan dasar. Di dieu, pikeun kahiji kalina, urang sapatemon fenomena jadi ilahar dina dewasa: "nebak jawaban, lajeng pariksa lamun ditebak katuhu." Ieu pisan aptly dikedalkeun ku Daniel K. Dennett ("Kumaha carana Jieun Kasalahan?", dina Kumaha Éta - Pituduh Ilmiah pikeun Alam Semesta, CiS, Warsawa, 1997):

Metoda "nebak" ieu henteu ngaganggu kahirupan sawawa urang - sigana kusabab urang diajar awal sareng nebak henteu sesah. Sacara ideologis, fenomena anu sarua lumangsung, contona, dina induksi matematik (lengkep). Di tempat anu sami, urang "nebak" rumus teras pariksa naha tebakan urang leres. Murid sok nanya: "Kumaha urang terang pola? Kumaha carana tiasa kaluar?" Nalika murid naroskeun ka kuring patarosan ieu, kuring ngajantenkeun patarosanana janten lulucon: "Kuring terang ieu kusabab kuring profésional, sabab kuring dibayar pikeun terang." Siswa di sakola tiasa dijawab dina gaya anu sami, ngan langkung serius.

Latihan. Catet yén urang ngamimitian tambahan sarta multiplication ditulis kalawan Unit panghandapna, sarta division kalawan Unit pangluhurna.

Kombinasi dua gagasan

Guru matematika sok nunjukkeun yén anu urang sebut pamisahan déwasa nyaéta ngahijikeun dua ideu anu béda-béda: perumahan i pipisahan.

Anu kahiji (perumahan) lumangsung dina tugas dimana archetype nyaeta:

Ngabagi-bagi Ieu mangrupikeun tugas sapertos:

? (Kami nahan gaya aslina tina masalah ieu, dicokot tina buku pegangan Julian Zgozalewicz diterbitkeun di Krakow taun 1892 - złoty nyaéta złoty Rhenish, mata uang anu aya dina sirkulasi dina Kakaisaran Austro-Hungaria nepi ka awal abad ka-XNUMX).

Ayeuna mertimbangkeun dua masalah jeung buku ajar matematika pangkolotna di Polandia, bapana Tomasz Clos (1538). Naha éta divisi atanapi coupe? Ngabéréskeun éta cara barudak sakola dina abad ka-XNUMX kedah:

(Polandia kana tarjamahan Polandia: Aya quart jeung opat pot dina tong. A pot opat quarts. Batur meuli 20 tong anggur keur 50 zł pikeun dagang. Kawajiban jeung pajeg (excise?) bakal 8 zł. Sabaraha mun ngajual quart pikeun earn 8 zł?)

Olahraga, fisika, kongruensi

Kadang-kadang dina olahraga anjeun kudu ngabagi hal ku enol (rasio gawang). Muhun, hakim kumaha bae nungkulan eta. Sanajan kitu, dina aljabar abstrak aranjeunna dina agenda. kuantitas non-nolanu kuadratna nol. Malah bisa dijelaskeun saderhana.

Pertimbangkeun fungsi F anu ngahubungkeun titik (y, 0) sareng titik dina bidang (x, y). Naon F², nyaeta, hiji palaksanaan ganda F? Fungsi nol - unggal titik boga gambar (0,0).

Tungtungna, kuantitas non-enol anu kuadratna 0 nyaéta roti ampir sapopoé pikeun fisikawan, sareng angka-angka bentukna a + bε, dimana ε ≠ 0, tapi ε² = 0, matematikawan nelepon angka ganda. Éta lumangsung dina analisis matematik jeung dina géométri diferensial.

Barina ogé, aya hiji hal dina arithmetic nu boga division ku enol dina sahanteuna ngaran. Asalna ti kongruensi. Anggap Z nuduhkeun susunan integer. Ngabagi set Z ku p hartina urang equate unggal angka (integer) jeung sababaraha séjén, nyaéta, nu bédana maranéhanana bisa dibagi. Janten, nalika urang gaduh lima jinis nomer anu cocog sareng nomer 0, 1, 2, 3, 4 - sésana anu mungkin upami dibagi ku 5. Rumusna ditulis sapertos kieu:

mod nalika bédana mangrupa sababaraha.

Pikeun = 2, urang ngan boga dua angka: 0 jeung 1. Ngabagi integer jadi dua kelas misalna sarua jeung ngabagi kana genap jeung ganjil. Hayu urang ngaganti ayeuna. Bédana téh salawasna bisa dibagi ku 1 (sagala integer bisa dibagi ku 1). Éta mungkin nyandak = 0? Hayu urang cobian: iraha selisih dua wilangan kakalian nol? Ngan lamun dua angka ieu sarua. Jadi ngabagi sakumpulan integer ku enol asup akal, tapi teu metot: euweuh kajadian. Sanajan kitu, eta kudu emphasized yén ieu téh lain division tina angka dina harti dipikawanoh ti SD.

lampah sapertos ieu ngan dilarang, kitu ogé matematik panjang tur lega.

Sangu. 2. Idéntifikasi angka ngagunakeun babandingan

(tangkal 5 sareng tangkal 2)